In diesem Artikel wird untersucht, was das ist orthonormale Basis einer Matrix und wie man sie in MATLAB mithilfe von findet orth() Funktion.
Was ist die orthonormale Basis einer Matrix?
In der linearen Algebra ist die orthonormale Basis eines Vektorraums V mit endlicher Dimension sind die Basis mit Orthonormalvektoren bei dem die Orthonormalvektoren sind die zueinander orthogonalen Einheitsvektoren, d. h. ihr Skalarprodukt ist Null.
Betrachten Sie die Vektoren x und y mit zwei Einheiten. Sie sind orthogonal zueinander, wenn „x.y=0“ . Diese beiden Vektoren werden auch genannt Orthonormalvektoren .
Warum müssen wir die orthonormale Basis berechnen?
Eine orthonormale Basis ist nützlich, um die Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor oder den Abstand zwischen den beiden Vektoren zu ermitteln. Wir können auch eine verwenden orthonormale Basis um den Rundungsfehler in unseren Simulationen zu reduzieren, und der einzige Grund dafür ist, dass die Vektoren in einer Orthonormalbasis unabhängig voneinander sind, sodass sich ein Fehler in einem Vektor nicht auf andere Vektoren ausbreiten kann. Darüber hinaus ist das Finden von Koordinaten und das Durchführen einer linearen Transformation viel einfacher, wenn unsere Basis orthonormal ist.
Wie finde ich die orthonormale Basis einer Matrix in MATLAB?
In MATLAB können wir das finden orthonormale Basis mit dem eingebauten orth() Funktion, die für die Bestimmung der verantwortlich ist orthonormale Basis einer gegebenen Matrix. Diese Funktion akzeptiert eine Matrix als obligatorischen Parameter und stellt als Ausgabe eine Matrix bereit, die Folgendes enthält orthonormale Basis der gegebenen Eingabematrix.
Syntax
Der orth() Die Funktion kann in MATLAB über die folgenden Syntaxen implementiert werden:
Q = orth ( A,tol )
Hier,
- Die Funktion Q = orth(A) ist für die Festlegung zuständig orthonormale Basis für den Bereich von A, wobei die Spalten der Ausgabematrix Q die darstellen orthonormale Basis der Matrix A und sie spammen den Bereich der Matrix A. Außerdem entspricht der Rang von A der Anzahl der Spalten von Q.
- Die Funktion Q = orth(A,tol) ist für die Festlegung zuständig orthonormale Basis für den Bereich von A, der die Toleranz angibt. Die singulären Werte der Eingabematrix A, die unter der Toleranz liegen, werden als Null behandelt, indem sie sich auf die Anzahl der Spalten von Q auswirken.
Beispiel 1: Wie finde ich die orthonormale Basis einer Vollrangmatrix in MATLAB?
Dieser MATLAB-Code bestimmt die orthonormale Basis der gegebenen quadratischen Matrix A mit der Größe n=3 unter Verwendung der orth() Funktion. Dieser Code ermittelt auch den Rang einer Matrix A mithilfe von Rang() Funktion, um zu überprüfen, ob die Eingabematrix den vollen Rang hat.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = Rang ( A )
Q = orth ( A )
Beispiel 2: Wie berechnet man die orthonormale Basis einer Rangmangelmatrix in MATLAB?
In diesem Beispiel verwenden wir die orth() Funktion zum Finden der orthonormale Basis der gegebenen rangdefizienten Matrix A. Die Matrix A ist rangdefizient, weil Rang(K)
r = Rang ( A )
Q = orth ( A )
Beispiel 3: Wie finde ich die orthonormale Basis einer Vollrangmatrix durch Angabe der Toleranz in MATLAB?
Das angegebene Beispiel berechnet die orthonormale Basis der gegebenen vollrangigen quadratischen Matrix A mit der Größe n=3 Verwendung der orth() Funktion mit Standardtoleranz. Da A eine Vollrangmatrix ist, ist die Größe von A und Q (orthogonale Basis) ist das gleiche, was in diesem Fall 3×3 ist. Das Beispiel berechnet dann die orthonormale Basis von A, indem Sie den Toleranzwert 0,5 angeben, um die Werte von A, die kleiner als 0,5 sind, als singuläre Werte zu betrachten. Es gibt drei singuläre Werte in A, also hat A zwei orthonormale Spaltenvektoren, wie sie in enthalten sind Qtol Matrix.
A = Rand ( 3 ) ;r = Rang ( A )
Q = orth ( A )
Q_tol = orth ( A, 0,5 )
Abschluss
Finden der orthonormale Basis eines Vektorraums ist ein wichtiges Konzept der linearen Algebra, das ein kompliziertes mathematisches Problem darstellt. Es kann jedoch einfach und effizient mithilfe der integrierten Funktionen von MATLAB gelöst werden orth() Funktion. In diesem Artikel wurde die Implementierung dieser Funktion anhand verschiedener Syntaxen und Beispiele vorgestellt.