Gliederung:
- Strom in Wechselstromkreisen
- Momentanleistung in Wechselstromkreisen
- Durchschnittliche Leistung in Wechselstromkreisen
- Arten der Stromversorgung in Wechselstromkreisen
- Beispiel 1
- Beispiel 2
- Beispiel 3
- Beispiel 4
- Abschluss
Strom in Wechselstromkreisen
Die Spannungs- und Stromwellenformen der Wechselstromkreise mit reaktiven Komponenten sind um einen gewissen Winkel phasenverschoben. Wenn die Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom 90 Grad beträgt, hat das Produkt aus Strom und Spannung die gleichen positiven und negativen Werte. Die von den Blindkomponenten in Wechselstromkreisen verbrauchte Leistung ist nahezu gleich Null, da sie die gleiche Leistung zurückgeben, die sie verbrauchen. Die Grundformel zur Berechnung der Leistung in einem Wechselstromkreis lautet:
Momentanleistung in Wechselstromkreisen
Die Momentanleistung ist zeitabhängig und Spannung und Strom hängen auch von der Zeit ab. Die Grundformel zur Leistungsberechnung lautet daher:
Wenn also Spannung und Strom sinusförmig sind, lautet die Gleichung für Spannung und Strom:
Wenn wir nun die Werte für Strom und Spannung in die grundlegende Leistungsformel einsetzen, erhalten wir:
Vereinfachen Sie nun die Gleichung und verwenden Sie die folgende trigonometrische Formel:
Hier ist ΦV der Phasenwinkel der Spannung und Φi der Phasenwinkel des Stroms. Das Ergebnis ihrer Addition und Subtraktion ist Φ, sodass die Gleichung wie folgt geschrieben werden kann:
Da sich die Momentanleistung im Verhältnis zur Sinuswellenform kontinuierlich ändert, kann die Leistungsberechnung komplex werden. Die obige Gleichung kann vereinfacht werden, wenn die Anzahl der Zyklen fest ist und die Schaltung rein ohmsch ist:
Bei rein induktiven Stromkreisen lautet die Gleichung für die Momentanleistung:
Bei rein kapazitiven Schaltungen lautet die Gleichung für die Momentanleistung:
Durchschnittliche Leistung in Wechselstromkreisen
Da sich die Größe der Momentanleistung ständig ändert, hat sie keine praktische Bedeutung. Die durchschnittliche Leistung bleibt gleich und ändert sich nicht mit der Zeit, der Durchschnittswert der Leistungswellenform bleibt gleich. Die Durchschnittsleistung ist definiert als die Momentanleistung über einen Zyklus, die wie folgt geschrieben werden kann:
Dabei ist T die Schwingungsdauer und die Gleichung für die sinusförmige Spannung und den sinusförmigen Strom lautet:
Nun lautet die Gleichung für die durchschnittliche Leistung:
Verwenden Sie nun die unten angegebene trigonometrische Formel, um die Durchschnittsleistungsgleichung zu vereinfachen:
Nachdem wir die obige Integration gelöst haben, erhalten wir die folgende Gleichung:
Damit die Gleichung nun wie das Gleichstrom-Gegenstück aussieht, werden die RMS-Werte für Strom und Reise verwendet. Hier ist die Gleichung für den RMS-Strom und die RMS-Spannung:
Als Definition der durchschnittlichen Leistung lauten nun die Gleichungen für durchschnittliche Spannung und Strom:
Der Effektivwert für Spannung und Strom beträgt nun:
Wenn nun der Phasenwinkel wie beim Widerstand null Grad beträgt, beträgt die durchschnittliche Leistung:
Nun ist zu berücksichtigen, dass die durchschnittliche Leistung der Induktivität und des Kondensators Null ist, im Fall des Widerstands jedoch:
Im Falle der Quelle wäre es:
Im dreiphasigen ausgeglichenen System beträgt die durchschnittliche Leistung:
Beispiel: Berechnung der Momentanleistung und der Durchschnittsleistung eines Wechselstromkreises
Betrachten Sie ein passives lineares Netzwerk, das mit einer Sinusquelle verbunden ist und die folgenden Spannungs- und Stromgleichungen aufweist:
i) Finden Sie die Momentanleistung
Wenn wir die Werte von Spannung und Strom in die Leistungsgleichung einsetzen, erhalten wir:
Verwenden Sie nun die folgende Trigonometrieformel, um die Gleichung zu vereinfachen:
Die Momentanleistung beträgt also:
Wenn wir nun das Problem weiter lösen, indem wir cos 55 ermitteln, erhalten wir:
ii) Ermitteln der durchschnittlichen Leistung des Stromkreises.
Hier beträgt der Wert der Spannung 120 und der Strom den Wert 10, außerdem beträgt der Winkel für die Spannung 45 Grad und für den Strom beträgt der Winkel 10 Grad. Die durchschnittliche Leistung beträgt nun:
Arten der Stromversorgung in Wechselstromkreisen
In Wechselstromkreisen hängt die Art der Stromversorgung hauptsächlich von der Art der angeschlossenen Last ab. Die Stromversorgung kann entweder einphasig oder dreiphasig sein. Daher kann die Leistung in einem Wechselstromkreis in die folgenden Typen eingeteilt werden:
- Wirkleistung
- Blindleistung
- Scheinbare Leistung
Um eine Vorstellung von diesen drei Arten von Energie zu bekommen, finden Sie unten das Bild, das jede Art klar beschreibt:
Wirkleistung
Wie der Name schon sagt, wird die eigentliche Leistung, die die Arbeit verrichtet, als Wirkleistung oder Wirkleistung bezeichnet. Im Gegensatz zu Gleichstromkreisen haben Wechselstromkreise immer einen gewissen Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom, außer im Fall von Widerstandskreisen. Im Fall einer reinen Widerstandsschaltung ist der Winkel Null und der Kosinus von Null ist eine der Gleichungen für die Wirkleistung:
Blindleistung
Die Leistung, die in einem Wechselstromkreis verbraucht wird, aber keine Arbeit wie Wirkleistung verrichtet, wird als Blindleistung bezeichnet. Diese Art von Leistung kommt normalerweise bei Induktivitäten und Kondensatoren vor und hat großen Einfluss auf den Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom.
Aufgrund der Erzeugung und Reduzierung des elektrischen Felds des Kondensators und des Magnetfelds der Induktivität entzieht diese Leistung dem Stromkreis Strom. Mit anderen Worten, sie wird durch die Reaktanz der Blindkomponenten des Stromkreises erzeugt. Nachfolgend finden Sie die Gleichung zum Ermitteln der Blindleistung in einem Wechselstromkreis:
Die reaktiven Komponenten im Stromkreis weisen normalerweise einen Phasenunterschied zwischen Spannung und Strom von 90 Grad auf. Wenn also der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom 90 Grad beträgt, gilt Folgendes:
Scheinbare Leistung
Die Scheinleistung ist die Gesamtleistung des Stromkreises, die sich aus Wirk- und Blindleistung zusammensetzt, oder anders ausgedrückt: die von der Quelle bereitgestellte Gesamtleistung. Die Scheinleistung kann also als Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung geschrieben werden, und die Gleichung kann wie folgt geschrieben werden:
Es gibt eine andere Möglichkeit, eine Gleichung für die Scheinleistung zu schreiben, und das ist die Phasensumme der Wirk- und Blindleistung:
Normalerweise wird die Scheinleistung verwendet, um die Nennleistung der Geräte auszudrücken, die als Stromquellen verwendet werden, wie z. B. Generatoren und Transformatoren.
Beispiel 1: Berechnung der Verlustleistung im Stromkreis
Stellen Sie sich einen rein ohmschen Stromkreis mit einem Effektivwert des Widerstands von etwa 20 Ohm und einem Effektivwert der Spannung von etwa 10 Volt vor. Um die Verlustleistung im Stromkreis zu berechnen, verwenden Sie:
Da der Stromkreis ohmsch ist, sind Spannung und Strom in Phase, also:
Tragen Sie nun die Werte in die Formel ein:
Die Verlustleistung im Stromkreis beträgt 5 W.
Beispiel 2: Berechnung der Leistung einer RLC-Schaltung
Stellen Sie sich einen RLC-Schaltkreis vor, der an eine sinusförmige Spannungsquelle mit einer induktiven Reaktanz von 3 Ohm, einer kapazitiven Reaktanz von 9 Ohm und einem Widerstand von 7 Ohm angeschlossen ist. Wenn der Effektivwert des Stroms 2 Ampere und der Effektivwert der Spannung 50 Volt beträgt, ermitteln Sie die Leistung.
Die Durchschnittsleistungsgleichung lautet:
Um den Winkel zwischen Spannung und Strom zu berechnen, verwenden Sie die folgende Gleichung:
Wenn wir nun die Werte in die Gleichung für die durchschnittliche Leistung einsetzen, erhalten wir:
Beispiel 3: Berechnung der Wirk-, Blind- und Scheinleistung eines Wechselstromkreises
Stellen Sie sich einen RL-Schaltkreis vor, der mit einer Sinusspannung verbunden ist und eine Induktivität und einen Widerstand in Reihe geschaltet hat. Der Induktor hat eine Induktivität von 200 mH und der Widerstandswert des Widerstands beträgt 40 Ohm, die Versorgungsspannung beträgt 100 Volt bei einer Frequenz von 50 Hz. Finde das Folgende:
i) Impedanz der Schaltung
ii) Strom im Stromkreis
iii) Leistungsfaktor und Phasenwinkel
iii) Scheinleistung
i) Ermitteln der Impedanz des Stromkreises
Berechnen Sie zur Impedanzberechnung die induktive Reaktanz des Induktors und verwenden Sie dazu die angegebenen Werte für Induktivität und Frequenz:
Ermitteln Sie nun die Impedanz des Stromkreises mit:
ii) Ermitteln des Stroms im Stromkreis
Um den Strom im Stromkreis mithilfe des Ohmschen Gesetzes zu ermitteln:
iii) Phasenwinkel
Nun ermitteln wir den Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom:
iii) Scheinleistung
Um die Scheinleistung zu ermitteln, müssen die Wirk- und Blindleistungswerte bekannt sein. Ermitteln Sie daher zunächst die Wirk- und Scheinleistung:
Da alle Werte berechnet werden, lautet das Leistungsdreieck für diese Schaltung:
Weitere Informationen zum Leistungsdreieck und Leistungsfaktor finden Sie unter Lesen Sie diesen Leitfaden .
Beispiel 4: Berechnung der Leistung eines dreiphasigen Wechselstromkreises
Stellen Sie sich einen dreiphasigen, in Dreieck geschalteten Stromkreis mit drei Spulen und einem Netzstrom von 17,32 Ampere bei einem Leistungsfaktor von 0,5 vor. Die Netzspannung beträgt 100 Volt. Berechnen Sie den Netzstrom und die Gesamtleistung, wenn die Spulen in einer Sternkonfiguration angeschlossen sind.
i) Für Delta-Konfiguration
Die gegebene Netzspannung beträgt 100 Volt, in diesem Fall beträgt die Phasenspannung ebenfalls 100 Volt, wir können also schreiben:
Allerdings sind der Leitungsstrom und der Phasenstrom in der Dreieckkonfiguration unterschiedlich. Verwenden Sie daher die Leitungsstromgleichung, um den Phasenstrom zu berechnen:
Jetzt können wir die Phasenimpedanz des Stromkreises mithilfe der Phasenspannung und des Phasenstroms ermitteln:
ii) Für Sternkonfiguration
Da die Phasenspannung 100 Volt beträgt, beträgt der Leitungsstrom in der Sternkonfiguration:
In der Sternkonfiguration sind die Netzspannung und die Phasenspannung gleich. Daher wird die Phasenspannung wie folgt berechnet:
Der Phasenstrom beträgt nun:
iii) Gesamtleistung in einer Sternkonfiguration
Nachdem wir nun den Netzstrom und die Netzspannung in der Sternkonfiguration berechnet haben, kann die Leistung berechnet werden mit:
Abschluss
In Wechselstromkreisen ist die Leistung das Maß für die Geschwindigkeit, mit der die Arbeit verrichtet wird, oder anders ausgedrückt, sie ist die Gesamtenergie, die im Verhältnis zur Zeit an die Stromkreise übertragen wird. Die Leistung in einem Wechselstromkreis wird weiter in drei Teile unterteilt: Wirk-, Blind- und Scheinleistung.
Wirkleistung ist die tatsächliche Leistung, die die Arbeit verrichtet, wohingegen die Leistung, die zwischen der Quelle und den Blindkomponenten des Stromkreises fließt, die Blindleistung ist und oft als ungenutzte Leistung bezeichnet wird. Die Scheinleistung ist die Summe aus Wirk- und Blindleistung, sie kann auch als Gesamtleistung bezeichnet werden.
Die Leistung in einem Wechselstromkreis kann entweder als Momentanleistung oder Durchschnittsleistung gemessen werden. In kapazitiven und induktiven Stromkreisen ist die durchschnittliche Leistung Null, während in einem Wechselstromkreis die durchschnittliche Leistung im gesamten Stromkreis nahezu gleich ist. Die Momentanleistung hingegen ist zeitabhängig, schwankt also kontinuierlich.